Question

【題目】已知．

（1）當時，求的極值；

（2）當時，判斷函數的單調性；

（3）當時，若在處取得極大值，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極小值為 ，無極大值，（2）見解析（3）

【解析】

（1）求導得到函數單調區間，計算極值得到答案.

（2）求導得到，計算導函數的最大值為0，得到函數單調性.

（3）求導得到，再求導取導數為0得到，討論和，三種情況，計算得到答案.

（1）的定義域為，當時，，則，

由得，當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增，故當時取得極小值為，無極大值.

（2）當時，，，

設，則，

當時，，當時，，

所以在上調遞增，在上單調遞減，，

所以當時，，即，所以在上單調遞減．

（3）由已知得，則，

記，則，，令，得．

①若，則，當時，，故函數在上單調遞增，且當時，，即；

當時，，即，

又，所以在處取得極小值，不滿足題意．

②若，則當時，，故在上單調遞增；

當時，，故在上單調遞減，所以當時，，即，故在上單調遞減，不滿足題意．

③若，則，當時，，故在上單調遞減，

且當時，，即；當時，，即，

又，所以在處取得極大值，滿足題意．

綜上，實數的取值范圍是．