Question

【題目】已知函數，g（x）＝x2﹣1．

（1）求f（x）在點（0，f（0））處的切線方程．

（2）若h（x）＝f（x）+g（x）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），求證：x1f（x1）＞x2f（x2）．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣ax；（2）見解析

【解析】

對函數進行求導,利用導數的幾何意義求出即為所求切線的斜率,代入點斜式求解即可;

對函數求導,根據題意知,為方程的兩個不同的實根,利用判別式求出的取值范圍,再利用韋達定理判斷出的范圍, 要證明x1f（x1）＞x2f（x2），即證明,根據題意分別求出的表達式,然后作差,結合韋達定理把用代換,構造函數m（x）＝2x﹣1+2（1﹣x）lnx﹣2xln（1﹣x），x,通過求導判斷其單調性和最值,證明在上恒成立即可.

（1）由題意知,，f（0）＝0,，

故f（x）在（0，f（0））處的切線方程y＝﹣ax；

（2）由題意可知,h（x）＝aln（1﹣x）+x2﹣1，x＜1，

所以0在上有2個不同的實數根，

即方程﹣2x2+2x﹣a＝0在上有2個不同實根x1，x2，

所以△＝4﹣8a＞0，即0＜a，

由韋達定理可得,，∴，

所以要證明x1f（x1）＞x2f（x2），即證明，

∵，

因為,

所以

＝2x1ln（1﹣x1）﹣（1+x1），

同理2x2ln（1﹣x2）﹣（1+x2），

所以2x1ln（1﹣x1）﹣（1+x1）﹣2x2ln（1﹣x2）+（1+x2）

＝2x1ln（1﹣x1）﹣2x2ln（1﹣x2）+x2﹣x1，

因為,所以

令m（x）＝2x﹣1+2（1﹣x）lnx﹣2xln（1﹣x），x，

∴2[ln（1﹣x）]

0在（）上恒成立，

故函數m（x）在（）上單調遞增，m（x）＞m（）＝0，

故0，

即x1f（x1）＞x2f（x2）．