Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的短軸長為，直線與橢圓相交于兩點，線段的中點為.當與連線的斜率為時，直線的傾斜角為

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若是以為直徑的圓上的任意一點，求證：

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由短軸長可知，設，，由設而不求法作差即可求得，將相應值代入即求得，橢圓方程可求；

（2）考慮特殊位置，即直線與軸垂直時候，成立，當直線斜率存在時，設出直線方程，與橢圓聯立，結合中點坐標公式，弦長公式，得到與的關系，將表示出來，結合基本不等式求最值，證明最后的結果

解：（1）由已知，得

由，兩式相減，得

根據已知條件有，

當時，

∴，即

∴橢圓的標準方程為

（2）當直線斜率不存在時，，不等式成立.

當直線斜率存在時，設

由得

∴，

∴

由

化簡，得

∴

令，則

當且僅當時取等號

∴

∵

∴

當且僅當時取等號

綜上，