Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極小值，極大值；（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)定義列方程，解得.再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，即得極值，（Ⅱ）先分離變量，轉(zhuǎn)化研究函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性與圖象，最后根據(jù)圖象確定滿足條件的的取值范圍．

（Ⅰ）由函數(shù)是偶函數(shù)，得，

即對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立，

所以.

此時(shí)，則.

由，解得.

當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表所示：

		0		0
	↘	極小值	↗	極大值	↘

所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以有極小值，有極大值.

（Ⅱ）由，得. 所以“在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“直線與曲線，有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)”.

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得.

由，解得，.

當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表所示：

		0		0
	↘	極小值	↗	極大值	↘

所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>，，，，

所以當(dāng)或時(shí)，直線與曲線，有且只有兩個(gè)公共點(diǎn).

即當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).