Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是圓柱OO′的軸截面，點P在圓柱OO′的底面圓周上，圓柱OO′的底面圓的半徑OA=1，側面積為2π，∠AOP=60°．

（1）求證：PB⊥平面APD；

（2）是否存在點G在PD上，使得AG⊥BD；并說明理由．

（3）求三棱錐D-AGB的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析； （3）.

【解析】

（1）由為圓的直徑，可得，再由平面，得，然后利用線面垂直的判定可得平面；

（2）存在，當點是中點時，．由側面積公式求得，進一步得到，由是的中點，可得，再由（1）得，由線面垂直的判定可得平面，則；

（3）直接利用等積法求三棱錐的體積．

（1）證明：∵AB為圓O的直徑，∴PB⊥PA，

∵AD⊥平面PAB，∴PB⊥AD，

又PA∩AD=A，∴PB⊥平面APD；

（2）解：存在．當點G是PD中點時，AG⊥BD．

事實上，由題意可知，2π×1×AD=2π，解得AD=1．

由∠AOP=60°，可得△AOP為等邊三角形，得到AP=OA=1．

在Rt△PAD中，∵AD=AP，G是PD的中點，

則AG⊥PD．由（1）得PB⊥AG，PD∩PB=P，

∴AG⊥平面PBD，則AG⊥BD；

（3），

在Rt△APB中，∵AB=2，AP=1，∴PB=，

∴．

∴．