Question

已知數列的前n項和（n為正整數）。
（Ⅰ）令，求證數列是等差數列，并求數列的通項公式；
（Ⅱ）令，試比較與的大小，并予以證明。

Answer 1

(1) 數列是首項和公差均為1的等差數列,  
(2) 當,當時

解析試題分析：(I)在中,令n=1,可得,即
當時,,
.
 
又數列是首項和公差均為1的等差數列.
于是.
(II)由(I)得,所以


由①-②得

于是確定的大小關系等價于比較的大小由           可猜想當證明如下:
證法1:(1)當n=3時,由上驗算顯示成立。
(2)假設時
所以當時猜想也成立
綜合(1)(2)可知 ,對一切的正整數,都有
證法2:當時

綜上所述,當,當時
考點：數列的通項公式和求和，數學歸納法
點評：解決該試題的關鍵是能熟練的結合通項公式與前n項和的關系來得到通項公式，并運用數學歸納法來證明。屬于中檔題。