Question

【題目】如圖,四棱錐中, 為正三角形, , 為棱的中點.

(1)求證:平面平面;

(2)若直線與平面所成角為,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：

本題主要考查線面、面面垂直的判定與性質、利用空間向量求二面角．(1)

，可得為平行四邊形，易得，又，可得平面，則結論易得；(2)由題意證明，建立空間直角坐標系，求出又，利用向量的夾角公式求解即可．

試題解析：

(1)

為中點，

且

又且，

所以且

為平行四邊形，

．

又為正三角形，

從而

又

平面

又平面

平面平面．

(2)因為

所以

又

所以

平面

因此與平面所成的角，

故，所以．

建立如圖所示的空間直角坐標系．

設AD=4，則B(8，0，0)，P(0，2)，E(4，1)，

所以

設為平面的法向量，

由，

令

由（1）知為平面的一個法向量，

所以．

由圖形知二面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為