Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=（ ）1﹣x ， 則
①2是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；
②函數(shù)f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，3）上是增函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的最大值是1，最小值是0；
④x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)對(duì)稱軸；
⑤當(dāng)x∈（3，4）時(shí)，f（x）=（ ）x﹣3 ．
其中所有正確命題的序號(hào)是 ．

Answer 1

【答案】①②④⑤
【解析】解：∵f（x+1）=f（x﹣1），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[（x+1）﹣1]=f（x），
即①2是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，正確；
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=（ ）1﹣x為增函數(shù)；
由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
可得：當(dāng)x∈[﹣1，0]時(shí)，f（x）為減函數(shù)；
再由函數(shù)的周期為2，可得：
②函數(shù)f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，3）上是增函數(shù)，正確；
由②得：當(dāng)x=2k，k∈Z時(shí)，函數(shù)取最小值 ，
當(dāng)x=2k+1，k∈Z時(shí)，函數(shù)取最大值1，
故③函數(shù)f（x）的最大值是1，最小值是0，錯(cuò)誤；
由②得：④x=k，k∈Z均為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，
故④x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)對(duì)稱軸，正確；
⑤當(dāng)x∈（3，4）時(shí)，4﹣x=（0，1），
即f（4﹣x）=f（2﹣x）=f（﹣x）=f（x）=（ ）1﹣（4﹣x）=（ ）x﹣3 ，
即④f（x）=（ ）x﹣3 ． 正確
故答案為：①②④⑤
根據(jù)已知，確定函數(shù)f（x）的周期性，單調(diào)性，奇偶性，對(duì)稱性，最值等，進(jìn)而判斷各個(gè)命題的真假，可得答案．