Question

【題目】如圖，點C在以AB為直徑的圓O上，PA垂直于圓O所在的平面，G為△AOC的重心．
（1）求證：平面OPG⊥平面PAC；
（2）若PA=AB=2AC=2，求二面角A﹣OP﹣G的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，延長OG交AC于點M．

因為G為△AOC的重心，所以M為AC的中點．

因為O為AB的中點，所以OM∥BC．

因為AB是圓O的直徑，所以BC⊥AC，所以OM⊥AC．

因為PA⊥平面ABC，OM平面ABC，所以PA⊥OM．

又PA平面PAC，AC平面PAC，PA∩AC=A，所以OM⊥平面PAC．

即OG⊥平面PAC，又OG平面OPG，

所以平面OPG⊥平面PAC

（2）解：以點C為原點， 方向分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系Cxyz，

則C（0，0，0）， ，

則 ．

平面OPG即為平面OPM，設平面OPM的一個法向量 ，

則

令z=1，得 ．

過點C作CH⊥AB于點H，由PA⊥平面ABC，

易得CH⊥PA，又PA∩AB=A，所以CH⊥平面PAB，即CH為平面PAO的一個法向量．

在Rt△ABC中，由AB=2AC，得∠ABC=30°，則 ．

所以 ，

所以 ．

設二面角A﹣OP﹣G的大小為θ，

則

即二面角A﹣OP﹣G的余弦值為 ．

【解析】（1）延長OG交AC于點M．可得OM∥BC．由AB是圓O的直徑，得OM⊥AC．由PA⊥平面ABC，可得OM⊥平面PAC．即OG⊥平面PAC，證得平面OPG⊥平面PAC．（2）以點C為原點， 方向分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系Cxyz，則C（0，0，0）， 利用向量法求解．
【考點精析】通過靈活運用平面與平面垂直的判定，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．