Question

函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），若f（x）=f（4-x），且當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，（x-2）•f′（x）＜0．角A、B、C是銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角，下面給出四個(gè)結(jié)論：
（1）f(sin

7π

3

)＞f(cos

7π

4

)；     
（2）f（2log₂3）＜f（log_0.50.1）；
（3）f（sinA+sinB）＞f（cosA+cosB）；
（4）f（sinB-cosB）＞f（cosA-sinC）；
則上面這四個(gè)結(jié)論中一定正確的有（　　）個(gè)．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：本題可以先對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析，得出函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性情況，再比較三角函數(shù)值的大小，從而得到函數(shù)的大小比較，選出正確命題，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=f（4-x），
f（2+x）=f（2-x）．
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．
∵當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，（x-2）•f′（x）＜0，
∴x-2＜0，f′（x）＞0，
∴函數(shù)y=f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)y=f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減．
（1）∵sin

7π

3

=sin

π

3

=

3

2

＜2，
cos

7π

4

=cos

π

4

=

2

2

＜2，
且

2

2

＜

3

2

，
∴f(sin

7π

3

)＞f(cos

7π

4

)，
故命題①成立；
（2）∵2log₂3=log232=log29＞2，
log_0.50.1=log₂10＞2，
且log₂9＜log₂10，
∴f（2log₂3）＞f（log_0.50.1），
命題②不成立；
（3）∵角A、B、C是銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角，
∴A+B＞

π

2

，
∴A＞

π

2

-B，
∴sinA＞sin(

π

2

-B)，
∴sinA＞cosB，
同理sinB＞cosA．
∴sinA+sinB＞cosA+cosB，
∵sinA+sinB＜2，cosA+cosB＜2，
∴f（sinA+sinB）＞f（cosA+cosB），
故命題③成立；
（4）由（3）知：sinA＞cosB，
同理sinC＞cosA．
∴sinA+sinC＞cosA+cosB，
即sinA-cosB＞cosA-sinC，
∵sinA-cosB＜2，cosA-sinC＜2，
∴f（sinB-cosB）＞f（cosA-sinC），
命題④成立．
綜上，正確的命題有3個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性和三角函數(shù)值的計(jì)算，本題難度適中，屬于中檔題．