Question

【題目】已知函數.

（1）求函數在點處的切線方程；

（2）求函數在上的值域；

（3）若存在，使得成立，求的最大值.（其中自然常數）

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）的最大值為6.

【解析】

）（1）對求導得到，然后代入切點橫坐標，得到斜率，點斜式寫出切線方程，整理得答案；（2）利用導數判斷出的單調性，根據單調性求出其最小值，并比較在兩個端點時的函數值，得到最大值，從而得到答案；（3）由（2）可得，要使成立，且的值最大，則，…的值應最小，即，，從而得到，從而得到的最大值為.

解：（1），

∴，又，

∴，即為所求切線的方程.

（2）

令，得（舍去負根）

所以時，，單調遞減，

時，，單調遞增.

故，

又因為，

，

故，

故時，.

（3）由（2）知，時，.

所以有

而要使成立，且的值最大，

則，…每個的函數值應最小，

即，即，，

從而得到，

所以，

所以的最大值為.