Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，

（1）若點分別是線段的中點，求證：平面平面；

（2）若二面角為直二面角，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據等腰三角形三線合一和已知的角度和邊長關系可證得，從而可知；在利用三角形中位線可證得；根據線面平行判定定理和面面平行判定定理可證得結論；（2）設交于點，利用面面垂直的性質定理可證得平面，從而可建立起空間直角坐標系；利用線面角的向量求法可求得結果.

（1）為等邊三角形，且是線段的中點

，

平面，平面 平面

點分別是線段的中點

平面，平面 平面

平面平面

（2）設交于點，連接

由對稱性知，為的中點，且，

二面角為直二面角 平面

不妨設，則，，/p>

以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系

則，，，

，，

設平面的法向量為

則，即：

令，得，

直線與平面所成角的正弦值為