Question

【題目】如圖，在邊長為的正方形中，線段BC的端點分別在邊、上滑動，且，現將，分別沿AB，AC折起使點重合，重合后記為點，得到三被錐.現有以下結論：

①平面；

②當分別為、的中點時，三棱錐的外接球的表面積為；

③的取值范圍為；

④三棱錐體積的最大值為.

則正確的結論的個數為( )

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據題意得,折疊成的三棱錐P﹣ABC的三條側棱滿足PAPB、PAPC，由線面垂直的判斷定理得①正確；三棱錐P﹣ABC的外接球的直徑等于以PA、PB、PC為長、寬、高的長方體的對角線長，由此結合AP＝2、BP＝CP＝1，得外接球的半徑R＝，由此得三棱錐P﹣ABC的外接球的體積，故②正確；由題意得，，，在中，由邊長關系得，故③正確；由等體積轉化計算即可，故④錯誤.

由題意得，折疊成的三棱錐P﹣ABC的三條側棱滿足PAPB、PAPC，

在①中，由PAPB，PAPC，且PB PC，所以平面成立，故①正確；

在②中，當分別為、的中點時，三棱錐P﹣ABC的三條側棱兩兩垂直，三棱錐P﹣ABC的外接球直徑等于以PA、PB、PC為長、寬、高的長方體的對角線長，結合AP＝2、BP＝CP＝，

得外接球的半徑R＝，所以外接球的表面積為，故②正確；

在③中，正方形的邊長為2，所以，，，在中，由邊長關系得+，解得，故③正確；

在④中，正方形的邊長為2，且，則，

所以在上遞減，無最大值，故④錯誤.

故選：C