Question

【題目】某市教育部門為了了解全市高一學生的身高發育情況，從本市全體高一學生中隨機抽取了100人的身高數據進行統計分析。經數據處理后,得到了如下圖1所示的頻事分布直方圖，并發現這100名學生中,身不低于1.69米的學生只有16名,其身高莖葉圖如下圖2所示，用樣本的身高頻率估計該市高一學生的身高概率.

(I)求該市高一學生身高高于1.70米的概率,并求圖1中的值.

(II)若從該市高一學生中隨機選取3名學生,記為身高在的學生人數,求的分布列和數學期望；

(Ⅲ)若變量滿足且,則稱變量滿足近似于正態分布的概率分布.如果該市高一學生的身高滿足近似于正態分布的概率分布，則認為該市高一學生的身高發育總體是正常的.試判斷該市高一學生的身高發育總體是否正常,并說明理由.

Answer 1

【答案】(I) 見解析;（Ⅱ）見解析；(Ⅲ) 見解析.

【解析】分析: (I)先求出身高高于1.70米的人數,再利用概率公式求這批學生的身高高于1.70 的概率.分別利用面積相等求出a、b、c的值. (II)先求出從這批學生中隨機選取1名，身高在的概率，再利用二項分布寫出的分布列和數學期望. (Ⅲ)先分別計算出和，再看是否滿足且,給出判斷.

詳解： (I)由圖2 可知，100名樣本學生中身高高于1.70米共有15 名，以樣本的頻率估計總體的概率，可得這批學生的身高高于1.70 的概率為0.15.

記為學生的身高，結合圖1可得:

，

,

,

又由于組距為0.1,所以，

（Ⅱ）以樣本的頻率估計總體的概率，

可得: 從這批學生中隨機選取1名，身高在的概率

.

因為從這批學生中隨機選取3 名，相當于三次重復獨立試驗，

所以隨機變量服從二項分布，

故的分布列為:

	0	1	2	3
	0.027	0.189	0.441	0.343

（或

(Ⅲ)由，取

由（Ⅱ）可知，,

又結合(I)，可得:

，

所以這批學生的身高滿足近似于正態分布的概率分布，應該認為該市高一學生的身高發育總體是正常的.