Question

給出下列命題：
①若α、β是第一象限的角且α＜β，則tanα＜tanβ；
②存在實數(shù)α，使sinαcosα=1；
③y=sin（

5π

2

-x）是偶函數(shù)；
④存在實數(shù)α，使sinα+cosα=

3

2

；
⑤x=

π

8

是函數(shù)y=sin（2x+

5π

4

）的一條對稱軸方程．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：令α=60°，β=30°+360°，可得①不正確．
由于sin²α+cos²α=1，故sinαcosα=1 不可能，得②不正確．
 y=sin（

5π

2

-x）=cosx，是偶函數(shù)，故③正確．
若sinα+cosα=

3

2

，平方可得sin2α=

5

4

＞1，矛盾，故④不正確．
當(dāng)x=

π

8

時，函數(shù)y=sin（2x+

5π

4

）=-1，故x=

π

8

是函數(shù)的一條對稱軸方程，故⑤正確．

解答：解：①不正確，如α=60°，β=30°+360°，α＜β，但不滿足tanα＜tanβ．
②不正確，由于sin²α+cos²α=1，故sinαcosα=1 不可能．
③正確，∵y=sin（

5π

2

-x）=sin（

π

2

-x）=cosx，是偶函數(shù)．
④不正確，若sinα+cosα=

3

2

，則有1+sin2α=

9

4

，sin2α=

5

4

＞1，矛盾．
⑤正確，當(dāng)x=

π

8

時，函數(shù)y=sin（2x+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，函數(shù)取得最小值，故x=

π

8

是函數(shù)的一條對稱軸方程．
故答案為：③⑤．

點評：本題考查正弦函數(shù)的對稱性，奇偶性和值域，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．