Question

【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的方程為，過點的直線的參數方程為（為參數）.

（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）若直線與曲線交于、兩點，求的值，并求定點到，兩點的距離之積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直線的普通方程，曲線的直角坐標方程為；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由可得曲線的直角坐標方程為；用消參法消去參數，得直線的普通方程.

（Ⅱ）將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程中，由直線的參數方程中的參數幾何意義求解.

（Ⅰ）由（為參數），消去參數，得直線的普通方程.

由，得曲線的直角坐標方程為.

（Ⅱ）將直線的參數方程為（為參數），

代入，得.

則，.

∴，

.

所以，的值為，定點到，兩點的距離之積為.