Question

【題目】設(shè)函數(shù) 且f(x)的最小值為0.

（1）求a的值；

（2）若數(shù)列滿足a1=1，an+l=f(an)+2(n∈Z+)，記Sn=[a1]+[a2]+…+[an]，[m]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)m的最大整數(shù)，求Sn.

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)a=1時(shí)，f(x)取得最小值0. (2) Sn=2n-1

【解析】

（1）(x>0).

當(dāng)a≤0時(shí)，>0，則f(x)在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，無(wú)最小值，不符合題意.

當(dāng)a>0時(shí)，若0<x<a，則<0；

若x>a，則>0.

所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，a)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(a，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

故f(x)min=f(a)=ln a-a+1.

設(shè)g(a)=ln a-a+1(a>0).則.

若0<a<1，則>0；

若a>1，則<0.

所以，函數(shù)g(a)在區(qū)間(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.

故g(a)≤g（1）=0.

當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，上式等號(hào)成立.

從而，當(dāng)a=1時(shí)，f(x)取得最小值0.

（2）由（1）知

.

則an+1=f(an)+2=lnan++1.

由a1=1，得a2=2.

從而，a3=ln2+.

因?yàn)?/span><ln2<1，所以，2<a3<3.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥3時(shí)，2<an<3.

當(dāng)n=3時(shí)，結(jié)論已成立.

假設(shè)n=k(k≥3)時(shí)，2<ak<3.

當(dāng)n=k+1時(shí)，有.

由（1）知

h(x)=f(x)+2=lnx++1

在區(qū)間(2，3)內(nèi)單調(diào)遞增.

所以，h（2）<h(ak)<h（3），即

由ln2>，ln3<2<h(ak)<32<ak+1<3，

即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.

由歸納假設(shè)，知對(duì)一切整數(shù)n≥3，均有2<an<3.

于是，[a1]=1，[an]=2(n≥2).

故Sn=[ a1]+[a2]+…+[an] =1+2(n-1)-2n-1.