Question

設命題p：函數f(x)=lg(ax2-x+

a

16

)的定義域為R；命題q：3^x-9^x＜a對一切的實數x恒成立，如果命題“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出命題p，q成立的等價條件，利用p且q為假．確定實數k的取值范圍．

解答：解：要使函數f(x)=1g(ax2-x+

a

16

)的定義域為R，則不等式ax²-x+

a

16

＞0對于一切x∈R恒成立，
若a=0，則不等式等價為-x＞0，解得x＜0，不滿足恒成立．
若a≠0，則滿足條件

a＞0 △=1-4a× a 16 ＜0

，
即

a＞0 1- a2 4 ＜0

，解得

a＞0 a2＞4

，即a＞2，所以p：a＞2．
∵g（x）=3^x-9^x=-（3x-

1

2

） 2+

1

4

≤

1

4

，
∴要使3^x-9^x＜a對一切的實數x恒成立，
則a＞

1

4

，即q：a＞

1

4

．
要使p且q為假，則p，q至少有一個為假命題．
當p，q都為真命題時，滿足

a＞2 a＞ 1 4

，即a＞2，
∴p，q至少有一個為假命題時有a≤2，
即實數a的取值范圍是a≤2．

點評：本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關系，利用條件先求出p，q成立的等價條件是解決此類問題的關鍵．將p且q為假，轉化為先求p且q為真是解決本題的一個技巧．