Question

設命題p：函數f(x)=x2-2ax與g(x)=x+

a

x

在區(qū)間[1，2]都是減函數．
命題q：函數y=log₃（x²-2x+a）值域A⊆[2，+∞）．
若p∨q為真，p∧q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：若p∨q為真，p∧q為假即p與q一真一假，先求出p和q都是真時a的范圍，再分p真q假和p假q真兩種情況處理．

解答：解：設命題p：函數f（x）=x²-2ax在區(qū)間[1，2]是減函數，所以f（x）的對稱軸x=a≥2；
函數g(x)=x+

a

x

在區(qū)間[1，2]是減函數，g′(x)=1-

a

x2

≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立，
所以a≥x²在區(qū)間[1，2]上恒成立，只要a≥4即可．
所以命題p為真時a≥4；p為假時，a＜4．
命題q：函數y=log₃（x²-2x+a）值域A⊆[2，+∞），
∴x²-2x+a≥9很成立，只要（x²-2x+a）_min≥9．
而（x²-2x+a）_min=a-1，∴a-1≥9，a≥10
所以命題q為真時，a≥10，q為假時，a＜10．
若p∨q為真，p∧q為假即p與q一真一假．
當p真q假時a≥4且a＜10解得10＞a≥4；
當p假q真時a＜4且a≥10此時a無解．
綜上所述，a的取值范圍是[4，10）．

點評：本題以復合命題的真假考查已知函數單調性求參數范圍問題和對數型函數的值域問題．
二次函數單調性考慮對稱軸，其他比較復雜的函數單調性常用導數，轉化為導函數≥0或≤0恒成立．