Question

設命題p：函數f(x)=

a

x

(a＞0)在區間（1，2）上單調遞增；命題q：不等式|x-1|-|x+2|＜4a對任意x∈R都成立，若pVq是真命題，p∧q是假命題，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．

  3

  4

  ＜a＜1
• B．a＞

  3

  4

• C．0＜a＜

  3

  4

• D．a＞

  1

  4

Answer 1

分析：根據反比例函數的性質知命題p必為假，再通過絕對值的集合意義求出|x-1|-|x+2|的最小值，令最小值小于0，求出a的范圍，即命題q為真命題時a的范圍；有復合命題的真假判斷出q的真假情況，求出a的范圍．

解答：解：∵當a＞0時，函數f(x)=

a

x

(a＞0)在區間（1，2）上單調遞減，
∴p假．
∵不等式|x-1|-|x+2|＜4a對任意x∈R都成立，
所以|x-1|-|x+2|的最大值3小于4a即可．
所以3＜4a，
所以a＞

3

4

，
即若q真則有a＞

3

4

，
∵“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，
∴p，q中有一個真一個假，
即p假q真，有

a＞0 a＞ 3 4

即a＞

3

4

故若“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，則實數a的取值范圍a＞

3

4

故選B．

點評：本題主要考查了恒成立問題、復合命題的真假．解決復合函數的真假問題常轉化為構成其簡單命題的真假問題解．