Question

【題目】在△ABC中，A（﹣1，0），B（1，0），若△ABC的重心G和垂心H滿足GH平行于x軸（G．H不重合），
（I）求動點C的軌跡Γ的方程；
（II）已知O為坐標原點，若直線AC與以O為圓心，以|OH|為半徑的圓相切，求此時直線AC的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可設C（x，y），則G（ ），H（x， ）．

=（x﹣1， ）， =（x+1，y），

∵H為垂心，∴ =x2﹣1+ =0，整理可得x2+ =1，

即動點C的軌跡Г的方程為x2+ =1（xy≠0）；

（Ⅱ）顯然直線AC的斜率存在，設方程AC為y=k（x+1），C（x0，y0）．

將y=k（x+1）代入x2+ =1得（3+k2）x2+2k2x+k2﹣3=0，

解得x0= ，y0= ，則H（ ， ）．

原點O到直線AC的距離d= ，

依題意可得 ，

即7k4+2k2﹣9=0，解得k2=1，即k=1或﹣1，

故所求直線AC的方程為y=x+1或y=﹣x﹣1

【解析】（Ⅰ）由題意可設C（x，y），則G（ ），H（x， ），求出 ， 的坐標，再由 =0整理得答案；（Ⅱ）設方程AC為y=k（x+1），C（x0，y0）．聯立直線方程和橢圓方程，求出H的坐標，由點到直線的距離公式求得原點O到直線AC的距離，結合題意得到關于k的等式，求出k值后可得直線AC的方程．