Question

【題目】如圖多面體ABCD中，面ABCD為正方形，棱長AB=2，AE=3，DE= ，二面角E﹣AD﹣C的余弦值為 ，且EF∥BD．
（1）證明：面ABCD⊥面EDC；
（2）若直線AF與平面ABCD所成角的正弦值為 ，求二面角AF﹣E﹣DC的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=2，AE=3， ∴AD2+DE2=AE2∴AD⊥DE

又ABCD為正方形，∴AD⊥DC，

從而AD⊥平面EDC，

于是面ABCD⊥面EDC．

（2）解：由（1）知AD⊥DE，AD⊥DC，

∴∠EDC是二面角E﹣AD﹣C的平面角．

作EO⊥DC交DC于O，則AO=DEcos∠EDO=1，

且EO⊥面ABCD．取AB中點M，則OM⊥DC．

以O為坐標原點， 方向為x，y，z軸正方向建立直角坐標系O﹣xyz．

于是，E（0，0，2），D（0，﹣1，0），B（2，1，0），A（2，﹣1，0）；

得 ， ， ；

∴ ，

又面ABCD的一個法向量為： =（0，0，1），

設直線AF與平面ABCD所成角為θ，

則

得λ=0（舍去）或 ，

∴ ，

設面AEF的法向量為 ，則

取y=2，∴ ；

又面EDC的一個法向量為 ，

∴

又二面角AF﹣E﹣DC為銳角，所以其余弦值為 ．

【解析】（1）通過證明AD⊥DE，AD⊥DC，推出AD⊥平面EDC，得到面ABCD⊥面EDC．（2）說明∠EDC是二面角E﹣AD﹣C的平面角．以O為坐標原點， 方向為x，y，z軸正方向建立直角坐標系O﹣xyz．求出相關點的坐標，ABCD的一個法向量為： =（0，0，1），設直線AF與平面ABCD所成角為θ，利用向量的數量積求解即可．求出面AEF的法向量，面EDC的一個法向量，利用空間向量的數量積求解二面角AF﹣E﹣DC的余弦值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直)．