Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ （a＞0）
（1）若函數f（x）在x=2處的切線與x軸平行，求實數a的值；
（2）討論函數f（x）在區間[1，2]上的單調性；
（3）證明： ＞e．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，（x＞0）

∵函數f（x）在x=2處的切線與x軸平行

∴f′（2）= ，解得a=

（2）解：∵ = ，（x＞0，a＞0）

令h（x）=ax2+（2a﹣2）x+a，（a＞0），△=4﹣8a

①）當△=4﹣8a≤0，即a 時，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，此時函數f（x）在區間[1，2]上單調遞增；

②當△=4﹣8a＞0，即0＜a 時，拋物線y=ax2+（2a﹣2）x+a的圖象如下，與橫軸交點橫坐標為x1= ，x2=

h（1）=4a﹣2＜0，h（2）=9a﹣4

當h（2）=9a﹣4≤0，即0 時，h（x）≤0在（1，2）上恒成立，∴f′（x）≤0在（1，2）上恒成立，此時函數f（x）在區間[1，2]上單調遞減

當h（2）=9a﹣4＜0，即 時，h（x）≤0在（1，x2）上恒成立，h（x）≥0在（x2，2）上恒成立，此時函數f（x）在區間[1， ]上單調遞減

，在（ ，2）上單調遞增

（3）證明：由（2）可知，當a=0.5時，函數f（x）在區間[1，2]上單調遞增；即lnx 在區間[1，2]上恒成立．

令x=1+ ，（n∈N+），則有ln（1+ ）＞

（n+0.5）ln ＞1ln（ ）n+0.5＞1 ，

令n=2017，可得 ＞e

【解析】（1） ，（x＞0）由f′（2）= ，解得a（2） = ，（x＞0，a＞0），令h（x）=ax2+（2a﹣2）x+a，（a＞0），△=4﹣8a，分①）當△=4﹣8a≤0，即a 時，②當△=4﹣8a＞0，即0＜a 討論；（3）由（2）可知，當a=0.5時，函數f（x）在區間[1，2]上單調遞增；即lnx 在區間[1，2]上恒成立，令x=1+ ，（n∈N+），則有ln（1+ ）＞ （n+0.5）ln ＞1ln（ ）n+0.5＞1 ，令n=2017，可得 ＞e．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．