Question

如圖，正四棱錐P-ABCD各棱長都為2，點O，M，N，Q分別是AC，PA，PC，PB的中點．
（1）求證：PD∥平面QAC；
（2）求平面MND與平面ACD所成的銳角二面角的余弦值的大小；
（3）求三棱錐P-MND的體積．

Answer 1

分析：（1）連接BD，OQ，容易推出PD∥OQ，從而證明PD∥平面QAC；
（2）連接PO與MN的交點R與D，說明∠ODR就是要求的平面MND與平面ACD所成的銳角二面角大小，通過解三角形求出它的余弦值的大小；
（3）三棱錐P-MND的體積，轉化為D-PMN的體積，求出高，底面面積即可得到結論．

解答：解：（1）證明：連接BD，OQ，因為點O，Q分別是AC，PB的中點．所以PD∥OQ，因為OQ 在平面QAC內，PD在平面外，所以PD∥平面QAC；
（2）連接PO與MN的交點R與D，因為MN∥AC，PO⊥底面ABCD，又AC⊥BD，所以平面POD⊥AC，所以∠ODR就是要求的平面MND與平面ACD所成的銳角二面角大小，
所以OD=

2

，OR=

2

2

，所以RD=

5 2

，所以cos∠ODR=

2

5 2

=

2 5

5

，平面MND與平面ACD所成的銳角二面角的余弦值的大小：

2 5

5

．
（3）三棱錐P-MND的體積，就是D-PMN的體積，所以它的底面面積為：

1

2

×

2

×

2

2

，高為：

2

，它的體積為：

1

3

×

1

2

× 

2

× 

2

2

×

2

=

2

6

．

點評：本題是中檔題，考查棱錐中直線與平面的位置關系，特別是二面角的求法，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，計算能力，轉化思想的應用．