Question

【題目】如圖，圓柱體木材的橫截面半徑為，從該木材中截取一段圓柱體，再加工制作成直四棱柱，該四棱柱的上、下底面均為等腰梯形，分別內接于圓柱的上、下底面，下底面圓的圓心在梯形內部，，，，設.

（1）求梯形的面積；

（2）當取何值時，直四棱柱的體積最大？并求出最大值（注：木材的長度足夠長）

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，體積取最大值為

【解析】

（1）根據等腰梯形的性質，結合銳角三角函數的定義可以求出、以及等腰梯形的高、、的表達式，最后求出等腰梯形的面積表達式即可；

（2）利用棱柱的體積公式求出四棱椎體積的表達式，令，進行換元，利用導數求出體積的最大值即可.

（1）由條件可得，，所以梯形的高.

又，.所以梯形的面積

.

（2）設四棱柱的體積為，因為，

所以.

設，因為，所以，所以，，

由，令，得，

與的變化情況列表如下：

	+	0	－
	↗	極大值	↘

所以，在時取得極大值，即為最大值，且最大值.此時

答：當時，四棱柱的體積取最大值為.