Question

【題目】已知函數.

（1）若關于的不等式的解集為，求函數的最小值；

（2）是否存在實數，使得對任意，存在，不等式成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）不存在實數，使得對任意，存在，不等式成立，理由見解析.

【解析】

(1)利用二次不等式解集的性質與韋達定理求解得,再代入了與基本不等式求最值即可.

(2)由題可知若存在則,根據對數不等式性質可知,再分析二次函數的對稱軸與區間的位置關系求得的最值分析即可.

（1）依題意得,2和3是方程的兩根

由韋達定理可知：

∴

又∵,∴

當且僅當時等號成立,

所以的最小值為.

（2）假設存在實數,使得對任意,存在,不等式成立

∴

∵時,,∴

∴在成立

記,其對稱軸為,

①當,即時,

由,∴…

②當,即時,

由,∴

綜上所述,不存在實數,使得對任意,存在,不等式成立.