Question

【題目】過拋物線 的焦點的直線與拋物線在第一象限的交點為，與拋物線準線的交點為 ，點在拋物線準線上的射影為，若 的面積為 .

（ 1 ） 求拋物線的標準方程；

（ 2 ） 過焦點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線分別為，且與相交于點，與軸交于點，求證： .

Answer 1

【答案】(1).

(2)證明見解析.

【解析】分析：（1）由題意可得，則拋物線的標準方程為.

（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線，設(shè)與拋物線方程聯(lián)立可得，結(jié)合切線方程可得，，則，.

詳解：（1）因為，所以到準線的距離即為三角形的中位線的長，所以，

根據(jù)拋物線的定義，所以，

，

，

解得，所以拋物線的標準方程為.

（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線，設(shè)

聯(lián)立消去得，得，

，設(shè)，

，

，

得點坐標，

由，得，

,

所以，即.