Question

【題目】已知動點到定點的距離比它到軸的距離大.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設點(為常數)，過點作斜率分別為的兩條直線與，交曲線于兩點，交曲線于兩點，點分別是線段的中點，若，求證：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由題意可得，點到定點的距離等于它到的距離，從而點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，從而求出答案；

（2）先寫出直線的點斜式方程，再聯立拋物線方程消元，得韋達定理結論，利用中點坐標公式求出點，同理求出點，從而求出直線直線的斜率及直線方程，從而得出直線過定點．

解：（1）∵點到定點的距離比它到軸的距離大1，

∴點到定點的距離等于它到的距離，

∴點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，

∴動點的軌跡的方程為

（2）由題意，直線的方程為，

設，由，得，

∴，

又線段的中點為，所以，同理，

∴直線的斜率，

∴直線的方程為：，

即，

∴直線過定點．