Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，點、分別在線段、上，且，其中，連接，延長與的延長線交于點，連接．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若時，求二面角的正弦值；

（Ⅲ）若直線與平面所成角的正弦值為時，求值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）在線段上取一點，使得，，證明四邊形為平行四邊形，得到，然后證明平面．

（Ⅱ）以為坐標原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量利用空間向量的數量積，求解二面角的正弦值．

（Ⅲ）令，，，，，求出平面的一個法向量利用空間向量的數量積轉化求解即可．

（Ⅰ）在線段上取一點，使得，，

且，

，

，且，

且，

四邊形為平行四邊形，

，

又平面，平面，

平面．

（Ⅱ）以為坐標原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，

，，1，，，0，

設平面的一個法向量為，

，，

，令，，，

設平面的一個法向量為，

，，

，

令，，，，

，

，

二面角的正弦值為．

（Ⅲ）令，，，，，

設平面的一個法向量為，

，，

，令，

，

由題意可得：，

，

，．