Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc2C． （Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若△ABC為銳角三角形，且 ，求a﹣b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc2C， ∴1﹣2sin2A+1﹣2sin2B+2sinAsinB=2（1﹣sin2C），
即sin2C=sin2A+sin2B﹣sinAsinB，
由正弦定理得：c2=a2+b2﹣ab，
∴ ，
且角C角為三角形的內角，即 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由 得，a=2sinA，b=2sinB， ，
∵△ABC為銳角三角形， ，又∵ ，
∴A∈（ ， ），
∴A﹣ ∈（﹣ ， ），
∴ ，即a﹣b的取值范圍為（﹣1，1）
【解析】（Ⅰ）由已知利用三角函數恒等變換的應用，正弦定理化簡已知等式可得c2=a2+b2﹣ab，利用余弦定理可求cosC，結合C角為三角形的內角，可求C的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，利用正弦定理可求a=2sinA，b=2sinB，利用三角函數恒等變換的應用可求a﹣b=2sin（A﹣ ），可求范圍A﹣ ∈（﹣ ， ），利用正弦函數的性質即可得解a﹣b的范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解正弦定理的定義(正弦定理:)，還要掌握余弦定理的定義(余弦定理:;;)的相關知識才是答題的關鍵．