Question

【題目】如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為4，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點（異于C點），過點A，P，Q的平面截面記為M．
則當CQ∈時（用區間或集合表示），M為四邊形；
當CQ=時（用數值表示），M為等腰梯形；
當CQ=4時，M的面積為 ．

Answer 1

【答案】（0，2]；2；8
【解析】解：∵CC1=4，∴當CQ∈（0，2]時，M為四邊形（見圖）；

當Q為CC1的中點，即CQ=2時，PQ∥AD1 ， AP=QD1= =2 ，
M為等腰梯形APQD1；
當CQ=4時，Q與C1重合（如圖），

取A1D1的中點F，連接AF，C1F，AP，PC1 ， 則PC1∥AF，且PC1=AF，
所以截面為APC1F為菱形，故其面積為：S= AC1PF= ×4 ×4 =8 ．
所以答案是：（0，2]；2；8 ．
【考點精析】掌握棱柱的結構特征是解答本題的根本，需要知道兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形．