Question

已知函數f(x)=x－ax+(a－1)，.
（1）討論函數的單調性；（2）若，設，
（ⅰ）求證g（x）為單調遞增函數；
（ⅱ）求證對任意x，x，xx，有.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）（ⅰ）詳見解析；（ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（1）先利用導數求出函數的兩個潛在極值點與，由于，可以確定也在函數的定義域中，然后對與的大小關系分三種情況進行討論，并求出相應條件下函數的單調區間；
（2）（ⅰ）求出的導數，然后利用導數或法說明在上恒成立，從而證明函數為單調遞增函數；（ⅱ）利用（ⅰ）中的結論是單調遞增函數，并假設，由經過變形得到.
試題解析：(1)的定義域為，
  2分
（i）若即,則故在單調增加。 3分
(ii)若,而,故,則當時，;當及時，故在單調減少，在單調增加。 5分
(iii)若,即,同理可得在單調減少，在單調增加. 6分
(2) （ⅰ）
則  7分
由于1<a<5,故，即g(x)在(0, +∞)單調增加， 8分
（ⅱ）有（ⅰ）知當時有，即，
故，當時，有 10分
考點：分類討論、函數的單調性與導數