Question

已知常數,函數.
(1)討論在區間上的單調性;
(2)若存在兩個極值點,且,求的取值范圍.

Answer 1

(1)詳見解析  (2)

試題分析:(1)首先對函數求導并化簡得到導函數,導函數的分母恒大于0,分子為含參的二次函數,故討論分子的符號,確定導函數符號得到原函數的單調性,即分和得到導函數分子大于0和小于0的解集進而得到函數的單調性.
(2)利用第(1)可得到當時,導數等于0有兩個根,根據題意即為兩個極值點,首先導函數等于0的兩個根必須在原函數的可行域內,把關于的表達式帶入,得到關于的不等式,然后利用導函數討論的取值范圍使得成立.即可解決該問題.
(1)對函數求導可得
,因為,所以當時,即時,恒成立,則函數在單調遞增,當時, ,則函數在區間單調遞減,在單調遞增的.
(2)解:(1)對函數求導可得,因為,所以當時,即時,恒成立,則函數在單調遞增,當時, ,則函數在區間單調遞減,在單調遞增的.
(2)函數的定義域為,由(1)可得當時,,則 ,即,則為函數的兩個極值點,代入可得
=
令,令,由知: 當時,, 當時,,
當時,,對求導可得,所以函數在上單調遞減,則,即不符合題意.
當時, ,對求導可得,所以函數在上單調遞減,則,即恒成立,
綜上的取值范圍為.