Question

（本小題滿分14分）
已知函數（為常數）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為.
（1）求的值及函數的極值；
（2）證明：當時，
（3）證明：對任意給定的正數，總存在，使得當時，恒有

Answer 1

（1）當時，有極小值，無極大值.
（2）見解析.（3）見解析.

試題分析：（1）由，得.
從而.
令，得駐點.討論可知：
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增.
當時，有極小值，無極大值.
（2）令，則.
根據，知在R上單調遞增，又，
當時，由，即得.
（3）思路一：對任意給定的正數c，取，
根據.得到當時，.
思路二：令，轉化得到只需成立.
分，，應用導數研究的單調性.
思路三：就①，②，加以討論.
試題解析：解法一：
（1）由，得.
又，得.
所以，.
令，得.
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增.
所以當時，有極小值，
且極小值為，
無極大值.
（2）令，則.
由（1）得，，即.
所以在R上單調遞增，又，
所以當時，，即.
（3）對任意給定的正數c，取，
由（2）知，當時，.
所以當時，，即.
因此，對任意給定的正數c，總存在，當時，恒有.
解法二：（1）同解法一.
（2）同解法一.
（3）令，要使不等式成立，只要成立.
而要使成立，則只需，即成立.
①若，則，易知當時，成立.
即對任意，取，當時，恒有.
②若，令，則，
所以當時，，在內單調遞增.
取，
，
易知，，所以.
因此對任意，取，當時，恒有.
綜上，對任意給定的正數c，總存在，當時，恒有.
解法三：（1）同解法一.
（2）同解法一.
（3）①若，取，
由（2）的證明過程知，，
所以當時，有，即.
②若，
令，則，
令得.
當時，，單調遞增.
取，
，
易知，又在內單調遞增，
所以當時，恒有，即.
綜上，對任意給定的正數c，總存在，當時，恒有.