Question

已知函數(shù) 
(1)求在點(diǎn)處的切線方程；
(2)證明：曲線與曲線有唯一公共點(diǎn)；
(3)設(shè)，比較與的大小, 并說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)

試題分析：(1)首先求出，令，即可求出在點(diǎn)處的切線方程的斜率，代入點(diǎn)斜式即可求出切線方程
(2)令 則，根據(jù)，討論在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，
，又，即函數(shù)有唯一零點(diǎn)，所以曲線與曲線有唯一公共點(diǎn).
(3)作差得，令,討論， 的單調(diào)性，得到在上單調(diào)遞增，而，所以在上，可得時(shí)，
（1) ，則，點(diǎn)處的切線方程為：,
(2) 令 ，，則，
且，，
因此，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
所以，所以在上單調(diào)遞增，又，即函數(shù)有唯一零點(diǎn)，
所以曲線與曲線有唯一公共點(diǎn).
(3) 設(shè)

令且，則
，所以 在上單調(diào)增，且 ，
因此，在上單調(diào)遞增，而，所以在上
即當(dāng)時(shí)，且，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，