Question

關于函數f(x)=2

2

sin(x-

π

4

)•cosx的四個結論：
①最大值為

2

-1；
②圖象的對稱軸方程為x=-

π

8

+

k

2

π(k∈Z)；
③函數的單調增區間為[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ](k∈Z)；
④圖象關于點(

π

8

+

kπ

2

，-1)(k∈Z)對稱．
正確結論的序號是

 

．

Answer 1

分析：f（x）=2

2

sin（x-

π

4

）cosx，利用正弦函數的性質對①②③④四個選項逐一判斷即可．

解答：解：∵f（x）=2

2

sin（x-

π

4

）cosx
=2

2

（

2

2

sinx-

2

2

cosx）cosx
=2sinxcosx-2cos²x
=sin2x-cos2x-1
=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
∴f（x）_max=

2

-1，即①正確；
由2x-

π

4

=kπ-

π

2

（k∈Z）得：x=

kπ

2

-

π

8

（k∈Z），
∴f（x）的對稱軸方程為x=

kπ

2

-

π

8

（k∈Z），故②正確；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

（k∈Z），
∴f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z），故③正確；
由2x-

π

4

=kπ（k∈Z），得：x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z），
∴f（x）的圖象關于點（

kπ

2

+

π

8

，-1）（k∈Z）成中心對稱，故④正確；
綜上所述，確結論的序號是①②③④．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，著重考查正弦函數的圖象與性質的綜合應用，屬于中檔題．