Question

【題目】已知函數.

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1），由在處取到極值，可得，.

經檢驗，時，在處取到極小值；（2），令，討論三種情況，分別利用導數研究函數的單調性，求出函數的最值，可得當時，不滿足在上恒成立，時再分兩種情況討論可得時，在上恒成立，當時，根據二次函數的性質可得不滿足題意，進而可得結果.

試題解析：（1），

∵在處取到極值，

∴，即，∴.

經檢驗，時，在處取到極小值.

（2），令，

①當時，，在上單調遞減.

又∵，∴時，，不滿足在上恒成立.

②當時，二次函數開口向上，對稱軸為，過.

a.當，即時，在上恒成立，

∴，從而在上單調遞增.

又∵，∴時，成立，滿足在上恒成立.

b.當，即時，存在，使時，，單調遞減；

時，，單調遞增，∴.

又∵，∴，故不滿足題意.

③當時，二次函數開口向下，對稱軸為，在上單調遞減，

，∴，在上單調遞減.

又∵，∴時，，故不滿足題意.

綜上所述，.