Question

函數，數列，滿足0＜＜1， ，數列滿足，
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）求證：0＜＜＜1；
（Ⅲ）若且＜，則當n≥2時，求證：＞

Answer 1

（Ⅰ）函數的遞減區間（-1,0），遞增區間（0，+）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．

試題分析：（Ⅰ）求函數的單調區間，首先確定定義域，可通過單調性的定義，或求導確定單調區間，由于，含有對數函數，可通過求導來確定單調區間，對函數求導得，由此令，，解出就能求出函數的單調區間；（Ⅱ）求證：0＜＜＜1，可先證0＜＜1，，再證數列單調遞減，可先證0＜＜1，若能求出通項公式，利用通項公式來證，由已知0＜＜1， ，顯然無法求通項公式，可考慮利用數學歸納法來證，結合函數的單調性易證，證數列單調遞減，可用作差比較法＜0證得，從而的結論；（Ⅲ）若且＜，則當n≥2時，求證：＞，關鍵是求的通項公式，由，，所以，可得，只要證明＞，，即證，因為且＜，則，由此可得，所以，即證得．
試題解析：（Ⅰ）利用導數可求得函數的遞減區間（-1,0），遞增區間（0，+）
（Ⅱ）先用數學歸納法證明0＜＜1，.
①當n=1時，由已知得結論成立.②假設時，0＜＜1成立.則當時由（1）可得函數在上是增函數，所以＜＜=1-＜1，所以0＜＜1，即n=k+1時命題成立，由①②可得0＜＜1，成立.
又＜0，所以＜成立.
所以0＜＜＜1
（Ⅲ）因為，，所以，
所以……①
因為則，所以
因為，當時，，
所以……②
由①②兩式可知