Question

已知函數，（其中常數）.
（1）當時，求的極大值；
（2）試討論在區間上的單調性；
（3）當時，曲線上總存在相異兩點、，使得曲線
在點、處的切線互相平行，求的取值范圍.

Answer 1

（1）函數的極大值為；（2）詳見解析；（3）的取值范圍是.

試題分析：（1）將代入函數的解析式，利用導數求出函數的極大值即可；（2）先求出導數，并求出方程的兩根和，對這兩根的大小以及兩根是否在區間進行分類討論，并借助導數正負確定函數在區間上的單調區間；（3）先利用函數在、兩點處的切線平行得到，通過化簡得到，利用基本不等式轉化為
在上恒成立，于是有，進而求出的取值范圍.
試題解析：（1）當時，，定義域為，
所以，
令，解得或，列表如下：

	減	極小值	增	極大值	減

故函數在處取得極大值，即；
（2），
由于，解方程，得，，
①當時，則有，
當時，；當時，，
即函數在區間上的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
②當時，，則在區間上恒成立，
故函數在區間上單調遞減；
③當時，則有，
當，；當時，，
故函數在區間上的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
（3）由（2）知，，
由于，從而有，化簡得，
即，由于，則有，
令，故有對任意恒成立，
而在上恒成立，
故函數在上單調遞增，則函數在處取得最小值，即，
因此，所以，因此的取值范圍是.