Question

已知函數.
(1)當時，求函數的極值；
(2)求函數的單調區間；
(3)是否存在實數，使函數在上有唯一的零點，若有，請求出的范圍；若沒有，請說明理由.

Answer 1

（1），無極大值；（2）見解析；（3）存在，或.

試題分析：（1）先找到函數的定義域，在定義域內進行作答，在條件下求出函數的導函數，根據函數的單調性與導數的關系，判斷函數的極值；（2）先求出函數的導函數，其導函數中含有參數，所以要進行分類討論，對分三種情況，，進行討論，分別求出每種情況下的函數的單調增區間和單調減區間；（3）結合（2）中的結果，找到函數的極值點，要滿足題中的要求，那么或，解不等式，在的范圍內求解.
試題解析：（1） 函數的定義域是，       1分
當時，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以函數的極小值為，無極大值；                    4分
（2）定義域，           5分
①當，即時，由，得的增區間為；由，得的減區間為；                6分
②當，即時，由，得的增區間為和；由，得的減區間為；        7分
③當，即時，由，得的增區間為和；由，得的減區間為；        8分
綜上，時，的增區間為，減區間為；
時，的增區間為和，減區間為；
時，的增區間為和，減區間為；       9分
(3)當時，由（2）知在的極小值為，而極大值為；
由題意，函數的圖象與在上有唯一的公共點，
所以，或，結合，
解得或.           13分