Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，圓的方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）當時，與相交于，兩點，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1)直線的普通方程為，的直角坐標方程為.

(2).

【解析】

試題（1）利用三種方程的轉化方法，求 的普通方程和C的直角坐標方程；（2）由（1）可知圓心坐標為C（2，0），半徑為2，直線過點A（3，1），CA⊥PQ時，可求|PQ|的最小值．

試題解析：（1）由直線的參數方程（為參數），

消去參數得，，

即直線的普通方程為，

由圓的極坐標方程為，得，

將代入(*)得， ，

即的直角坐標方程為.

（2）將直線的參數方程代入得，，

，

設兩點對應的參數分別為，

則，

所以，

因為，

所以當時，取得最小值.

【注：未能指出取得最小值的條件，扣1分】

解法二：（1）同解法一

（2）由直線的參數方程知，直線過定點，

當直線時，線段長度最小.

此時，，

所以的最小值為.

解法三：

（1）同解法一

（2）圓心到直線的距離，

，

又因為，

所以當時，取得最大值.

又，

所以當時，取得最小值.