Question

【題目】若ln（x+1）﹣1≤ax+b對任意x＞﹣1的恒成立，則 的最小值是 ．

Answer 1

【答案】1﹣e
【解析】解：令y=ln（x+1）﹣ax﹣b﹣1，則y′= ﹣a， 若a≤0，則y′＞0恒成立，x＞﹣1時函數遞增，無最值．
若a＞0，由y′=0得：x= ，
當﹣1＜x＜ 時，y′＞0，函數遞增；
當x＞ 時，y′＜0，函數遞減．
則x= 處取得極大值，也為最大值﹣lna+a﹣b﹣2，
∴﹣lna+a﹣b﹣2≤0，
∴b≥﹣lna+a﹣2，
∴ ≥1﹣ ﹣ ，
令t=1﹣ ﹣ ，
∴t′= ，
∴（0，e﹣1）上，t′＜0，（e﹣1 ， +∞）上，t′＞0，
∴a=e﹣1 ， tmin=1﹣e．
∴ 的最小值為1﹣e．
所以答案是：1﹣e．