Question

已知函數，，.
（1）求的最大值；
（2）若對，總存在使得成立，求的取值范圍；
（3）證明不等式：.

Answer 1

（1）0；（2）；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查導數的應用、不等式、數列等基礎知識，考查思維能力、創新意識，考查分類討論思想、轉化思想.第一問，是導數的應用，利用導數判斷函數的單調區間求函數最值；第二問，雖然是恒成立問題，但經過分析可以轉化成求和，通過討論確定每段區間上函數的單調性和最值；第三問，先通過觀察湊出所要證明的表達式的形式，再利用等比數列的前n項和公式求和，最后通過放縮法得到結論.
試題解析： （1）∵ ()
∴  ∴當時，，時 
∴  ∴的最大值為0
（2），使得成立，等價于
由（1）知，當時，在時恒為正，滿足題意.
當時，，令解得
∴在及上單調遞增，在上單調遞減，
若即時，，∴ ∴ ∴，
若即時，在,，
而，在為正，在為負，
∴，
當而時不合題意，
綜上的取值范圍為 .
（3）由（1）知即  ()
取  ∴   ∴即
∴
.