Question

已知R，函數e．
（1）若函數沒有零點，求實數的取值范圍；
（2）若函數存在極大值，并記為，求的表達式；
（3）當時，求證：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見試題解析．

試題分析：（1）令得，∴．再利用求實數的取值范圍；（2）先解，得可能的極值點或，再分討論得函數極大值的表達式；（3）當時，，要證 即證，亦即證，構造函數，利用導數證明不等式．
試題解析：(1)令得，∴．      1分
∵函數沒有零點，∴，∴．        3分
(2)，令，得或．   4分
當時，則，此時隨變化，的變化情況如下表：

當時，取得極大值；            6分
當時，在上為增函數，∴無極大值．      7分
當時，則，此時隨變化，的變化情況如下表:

當時，取得極大值，∴    9分
(3)證明：當時，             10分
要證 即證，即證      11分
令，則．            12分
∴當時，為增函數；當時為減函數，時取最小值，，∴．
∴，∴．               14分