Question

已知函數
（1）求函數單調遞增區間；
（2）若存在，使得是自然對數的底數），求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）求導函數，解不等式，其解集和定義域求交集，得函數的單調遞增區間，該題中，不等式不易解出，但是可觀察到當且時恒成立，故函數在整個定義域內單調遞增；（2）由題知只需，即
問題轉化為求函數在的值域問題，觀察得，當時，；當時，，則，最大值為中的較大者，進而得關于的不等式，再考慮不等式的解集即為實數的取值范圍.
試題解析：⑴．
，所以在上是增函數，
又，所以不等式的解集為，
故函數的單調增區間為
⑶因為存在，使得成立，
而當時，，
所以只要即可．
又因為，，的變化情況如下表所示：

	減函數	極小值	增函數

所以在上是減函數，在上是增函數，所以當時，的最小值
，的最大值為和中的最大值．
因為，
令，因為，
所以在上是增函數．
而，故當時，，即；
所以，當時，，即，函數在上是增函數，解得；