Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*）數(shù)列{b_n}滿足b₁=

1

2

，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：數(shù)列{b_n-a_n}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），可得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），從而數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=

1

4

，公差為d=a₂-a₁=

1

2

的等差數(shù)列，由此可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由3b_n-b_n-1=n，得b_n=

1

3

b_n-1+

1

3

n，從而可以證明數(shù)列{b_n-a_n}為等比數(shù)列，即可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答： （1）解：由a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），
可得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=

1

4

，公差為d=a₂-a₁=

1

2

的等差數(shù)列．
∴a_n=a₁+（n-1）d=

1

2

n-

1

4

（n∈N^*），
即a_n=

1

2

n-

1

4

（n∈N^*）．                                     …（6分）
（2）證明：由3b_n-b_n-1=n，得b_n=

1

3

b_n-1+

1

3

n（n≥2，n∈N^*），
∴b_n-a_n=

1

3

b_n-1+

1

3

n-

1

2

n+

1

4

=

1

3

b_n-1-

1

6

n+

1

4

=

1

3

（b_n-1-

1

2

n+

3

4

）
=

1

3

[b_n-1-

1

2

（n-1）+

1

4

]=

1

3

（b_n-1-a_n-1）．
又b₁-a₁=

1

4

≠0，∴b_n-a_n≠0（n∈N^*），得

bn-an

bn-1-an-1

=

1

3

（n≥2，n∈N^*），
即數(shù)列{b_n-a_n}是首項(xiàng)為b₁-a₁=

1

4

，公比為

1

3

的等比數(shù)列．
∴bn=

1

4

•(

1

3

)n-1+

n

2

-

1

4

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．