Question

【題目】如圖，在多面體中，為菱形，，平面，平面，為的中點，若平面.

（1）求證：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】解:(Ⅰ)取AB的中點M，連結GM,MC，G為BF的中點,

所以GM //FA,又EC面ABCD, FA面ABCD,

∵CE//AF,

∴CE//GM,………………2分

∵面CEGM面ABCD=CM,

EG// 面ABCD,

∴EG//CM,………………4分

∵在正三角形ABC中，CMAB,又AFCM

∴EGAB, EGAF,

∴EG面ABF.…………………6分

（Ⅱ）建立如圖所示的坐標系,

設AB=2,

則B（）E(0,1,1) F（0，-1，2）

=(0，-2,1) ,=(,-1，-1),=(,1， 1),………………8分

設平面BEF的法向量=（）則

令，則,

∴=（）…………………10分

同理，可求平面DEF的法向量=（-）

設所求二面角的平面角為，則

=.…………………12分

【解析】

試題（Ⅰ） 取AB的中點M，連結GM,MC，要證EG面ABF，只要證CE//GM且CM面ABF即可．

（Ⅱ）利用ABCD為菱形，其對角線互相垂直平分這個特點建立空間直角坐標系如下圖所示，求出平面與平面的法向量，利用向量的夾角公式求出二面角B-EF-D 的余弦值．

試題解析：（本小題滿分12分）

解:（Ⅰ）取AB的中點M，連結GM,MC，G為BF的中點,

所以GM //FA,又EC面ABCD, FA面ABCD,

∵CE//AF,

∴CE//GM, 2分

∵面CEGM面ABCD=CM,

EG// 面ABCD,

∴EG//CM, 4分

∵在正三角形ABC中，CMAB,又AFCM

∴EGAB, EGAF,

∴EG面ABF． 6分

（Ⅱ）建立如圖所示的坐標系,設AB=2,

則B（）E（0,1,1） F（0，-1，2）

=（0，-2,1） ,=（,-1，-1）,

=（,1， 1）, 8分

設平面BEF的法向量=（）則

令，則,

∴=（） 10分 同理，可求平面DEF的法向量=（-）

設所求二面角的平面角為，則=． 12分