Question

三棱錐P-ABC中，三側棱PA、PB、PC兩兩相互垂直，三側面面積分
別為S₁、S₂、S₃，底面積為S，三側面與底面分別成角α、β、γ，（1）求S（用S₁、S₂、S₃表示）；（2）求證：cos²α+cos²β+cos²γ=1；

Answer 1

見解析

設PA=a，PB=b，PC=c，則S₁=ab ，S₂=bc，S₃=ca，
作PD⊥BC于D，連AD，
易證BC⊥平面PAD，
于是BC⊥AD；
S_△ABC=BC×AD，
在Rt△APD中，AD²=a²+PD²，
在Rt△BPC中，PD²=，
∴AD²=a²+
∴S_△ABC²=（BC×AD）²=（a²b²+b²c²+c²a²）=
∴
證明：由（1）知，PD⊥BC，AD⊥BC，∴∠PDA是側面PBC與底面ABC所成二面角的平面角，不妨設∠PDA=α，
PD²=，AD²=
∴cos²α=；
同理cos²β=；
cos²γ=；
∴cos²α+cos²β+cos²γ="1"