Question

【題目】如圖，三棱柱的側面是平行四邊形，，平面平面，且分別是的中點.

（1）求證：平面；

（2）當側面是正方形，且時，

（ⅰ）求二面角的大小；

（ⅱ）在線段上是否存在點，使得？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（ⅰ）（ⅱ）點在點處時，有

【解析】

（1）取中點，證明四邊形是平行四邊形，可得從而得證；

（2）（ⅰ）先證明平面以為原點建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，即可得到二面角的大小；

（ⅱ）假設在線段上存在點，使得. 設，則.

利用垂直關系，建立的方程，解之即可.

證明：（1）取中點，連，連.

在△中，因為分別是中點，

所以，且.

在平行四邊形中，因為是的中點，

所以，且.

所以，且.

所以四邊形是平行四邊形.

所以.

又因為平面，平面，

所以平面.

（2）因為側面是正方形，所以.

又因為平面平面，且平面平面

所以平面.所以.

又因為，以為原點建立空間直角坐標系，如圖所示.

設，則，

.

（ⅰ）設平面的一個法向量為.

由得即令，所以.

又因為平面，所以是平面的一個法向量.

所以.

由圖可知，二面角為鈍角，所以二面角的大小為.

（ⅱ）假設在線段上存在點，使得.

設，則.

因為

，

又，

所以.

所以.

故點在點處時，有