Question

如圖，拋物線y=ax²-5ax+4經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，且AC=BC．
（1）寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線的解析式；
（2）探究：若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上且在x軸下方的動(dòng)點(diǎn)，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）在拋物線線y=ax²-5ax+4中，令x=0可得點(diǎn)C坐標(biāo)，由BC∥x軸可得B和C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱對(duì)稱，從而可求B，由點(diǎn)A在x軸上及AC=BC=5可求A，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=ax²-5ax+4中可求a，進(jìn)而可求拋物線的方程
（2）分三類情形考慮：①以AB為腰且頂角為角A的△PAB有1個(gè)）②以AB為腰且頂角為角B的△PAB有1個(gè)③以AB為底，頂角為角P的△PAB有1個(gè)，即△P₃AB．分別進(jìn)行求解P的坐標(biāo)

解答：解：（1）在拋物線線y=ax²-5ax+4中，令x=0可得點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，4），拋物線的對(duì)稱軸是x=

5

2

∵BC∥x軸
∴B和C關(guān)于直線x=

5

2

對(duì)稱，從而有B（5，4）
∵點(diǎn)A在x軸上  AC=BC=5
∴A（-3，0）…（3分）
把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=ax²-5ax+4中，解得a=-

1

6

∴y=-

1

6

x2+

5

6

x+4…（5分）
（2）存在符合條件的點(diǎn)P共有3個(gè)．以下分三類情形 探索．
設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于N，與CB交于M．
過點(diǎn)B作BQ⊥x軸于Q，易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=

5

2

①以AB為腰且頂角為角A的△PAB有1個(gè)：△P₁AB．∴AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80
在 Rt△ANP₁中，P1N=

A P 2 1 -AN2

=

AB2-AN2

=

80-(5.5)2

=

199

2

∴P1(

5

2

，-

199

2

)（7分）
②以AB為腰且頂角為角B的△PAB有1個(gè)：△P₂AB．
在 Rt△BMP₂中，MP2=

B P 2 2 -BM2

=

AB2-BM2

=

80- 25 4

=

295

2

∴P2(

5

2

，

8- 295

2

)（9分）
③以AB為底，頂角為角P的△PAB有1個(gè)，即△P₃AB．
畫AB的垂直平分線交拋物線對(duì)稱軸于P₃，此時(shí)平分線必過等腰△ABC的頂點(diǎn)C．
過點(diǎn)P₃作P₃K垂直y軸，垂足為K，顯然 Rt△P₃CK∽R(shí)t△BAQ．∴

P3K

CK

=

BQ

AQ

=

1

2

．∵P₃K=2.5∴CK=5于是OK=1P3(

5

2

，-1)（11分）
所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(

5

2

，-

199

2

)，(

5

2

，

8- 295

2

)、(

5

2

，-1)…（12分）
注：第（3）小題中，只寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，無任何說明者不得分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由拋物線的性質(zhì)求解拋物線的方程，及直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，解題（2）要求考生具備較強(qiáng)的邏輯推理與運(yùn)算的能力．